Simetria nas Leis da Física e um Caso Clássico de Quebra de Simetria.

Esse é o primeiro texto de uma série que pretendemos abordar o modelo padrão e como ele funciona. Para iniciar é interessante compreender os conceitos clássicos de simetria para que no futuro tenhamos uma base boa para abordar os conceitos pretendidos. O presente texto é válido para alunos que estão cursando o primeiro ano de graduação, ou para alunos do ensino médio que tenham noções de derivadas.

(texto parcialmente corrigido, caso encontre algum erro deixe nos comentários que eu corrijo)

Simetrias nas leis da física.

 O  nosso primeiro passo será compreender uma coisa importante e linda da natureza: A simetria nas leis da física. Mas o que é simetria?

(Caso você tenha algum problema com vetores clique aqui!)

 Imagine um objeto qualquer com dois lados, A e B. Se observarmos que o lado A desse objeto é idêntico ao lado B podemos afirmar que este objeto é simétrico e damos o nome de simetria de paridade.

Outra forma mais ampla sobre simetria é pensar que uma coisa é simétrica se for possível submetê-la a uma transformação e ela permanecer exatamente igual após essa transformação (The Feynman Lectures on Physics Volume I).

 Nas leis da física nós podemos submeter suas equações a translações e rotações, se ainda sim elas continuarem iguais dizemos que elas são simétricas. Mas vamos demonstrar isso a partir das leis de Newton!

Vamos nos ater na segunda lei de Newton que demonstra de uma forma específica como a velocidade varia sobre diferentes influências de força.

\vec{R}=m\frac{d\vec{v}}{dt}=m\vec{a}  (1.1)

Para um sistema em três dimensões, temos:

 \vec{R}=ma_{x}\hat{i}+ ma_{y}\hat{j}+ ma_{z}\hat{k} (1.2)

 A equação demonstra que podemos medir a força resultante \vec{R} nos eixos x, y e z. Para que isso ocorra precisamos de um sistema de coordenadas para testar a validade dela. Vamos começar imaginando duas partículas, uma na posição A e a outra na posição B. Considere ambas partículas idênticas.

Quando medimos a localização espacial da partícula A, encontramos três coordenadas: x, y e z, mas vamos nos ater somente nos eixos x e y. Agora quando medimos a localização da partícula B, encontramos um  diferente, o qual chamaremos de  assim:

 x^{,}=x-c;   y^{,}=y;   z^{,}=z   (1.3)

Isso indica que há uma translação em O  referente as duas partículas. Se a segunda lei de Newton for de fato simétrica em relação a transformação de translação ela deve continuar sendo exatamente a mesma para ambas partículas, ou seja a (1.1) deve continuar exatamente igual para as duas partículas, então vejamos:

Aplicando uma mesma força \vec{R} nas duas partículas, temos:

 \vec{R}_{x^{,}}=\vec{R}_{x};       \vec{R}_{y^{,}}=\vec{R}_{y};       \vec{R}_{z^{,}}=\vec{R}_{z}  (1.4)

 Analisando a força na direção x, percebemos que a componente x da força que atua sobre as partículas A e B de forma similar, pois x.

 \frac{dx^{,}}{dt}=\frac{d(x-c)}{dt}=\frac{dx}{dt}  (1.5)

 c é uma constante e  dc/dt=0.

 Com isso conseguimos mostrar que as forças aplicadas em ambas as partículas são as mesmas, pois:

\vec{R}_{x^{,}}=\vec{R}_{x} (1.6)

Assim vemos que a segunda lei de Newton é simétrica em relação a transformação de translação, pois ela não muda quando fazemos uma translação de nossas coordenadas, ou seja, podemos transladar os eixos do sistema de coordenadas para outro lugar e essa lei continua válida.

 Mas agora nos resta uma dúvida: será que essas equações continuarão válidas se mudarmos os ângulos do sistema de coordenadas, ou seja, se rotacionarmos o sistema de coordenadas?

 Suponhamos que as partículas A e B estejam na mesma origem, mas os eixos da partícula A são deslocados em um ângulo \theta em relação a partícula B.

Figura 1 – Dois sistemas de coordenadas com orientações angulares diferentes.

Ou seja,

 x^{,}=xcos\theta+ysen\theta

E o y^{,},

 y^{,}=ycos\theta-xsen\theta

Para z^{,},

 z^{,}=z 

                                                        (1,7)

Agora iremos relacionar essa variação angular dos eixos com uma força \vec{F}. Na equação vimos que a força \vec{F} está direcionada nos eixos x, y e z.

Figura 2 – Componentes de uma força nos dois sistemas.

Pela análise da (figura 2) temos o resultado

 \vec{F}_{x^{,}}=\vec{F}_{x}cos\theta+\vec{F}_{y}sen\theta

\vec{F}_{y^{,}}=\vec{F}_{y}cos\theta-\vec{F}_{x}sen\theta

                                                                                                                                                                                                                (1.8)

Notamos que as equações (1.7) e (1.8) são parecidas, ou seja, têm a mesma forma. Para verificarmos a validade da equação (1.2) com a orientação angular diferente, testaremos as equações (1.7) e (1.8).

Na equação (1.7) multiplicaremos por m e derivaremos duas vezes em relação ao tempo e, então comparamos a (1.8) e vemos facilmente que elas são idênticas, ou seja:

 \vec{F}_{x^{,}}= m\frac{d^{2}x^{,}}{dt^2}= m\frac{d^{2}x}{dt^2}cos\theta +m\frac{d^{2}y}{dt^2}sen\theta

\vec{F}_{y^{,}}= m\frac{d^{2}y^{,}}{dt^2}= m\frac{d^{2}x}{dt^2}cos\theta-m\frac{d^{2}y}{dt^2}sen\theta

\vec{F}_{z^{,}}= m\frac{d^{2}z^{,}}{dt^2}= m\frac{d^{2}z}{dt^2}

                                                                                                                                                                  (1.9)                                     

Assim provamos que a segunda lei de Newton é válida também para qualquer conjunto de eixos variando seus ângulos. Desta forma vimos que existe simetria nessa lei da mecânica para ambos os casos, translação e rotação nos eixos.

Agora que conhecemos o básico sobre simetria, teremos que ir pouco mais adiante em nosso estudos e entender como essas simetrias se relacionam com teoremas de conservação.

Nós conhecemos muito bem algumas conservações na mecânica clássica desde nossa passagem pelo ensino médio. Essas conservações são principalmente a de energia, de momento angular e linear. No caso geral podemos chamar uma grandeza de conservativa se ela não sofre variação com o tempo, dE/dt=0, sendo assim considerada uma constante de movimento.

Existe, no entanto, uma descrição da mecânica clássica que nos interessa muito, que é a mecânica lagrangiana, ela nos interessa porque ela consegue tratar a mecânica de forma escalar e a partir de sua energia. Nesse formalismo o sistema é descrito pela Lagrangiana L:

 L=L(q,\dot{q},t)   (1.10)

Nos primeiros contatos é normal se assustar com as coordenadas generalizadas q e \dot{q}, mas elas não passam de coordenadas espaciais independetes quaisquer e sua derivada temporal. O caso mais comum de função Lagrangiana L é dado pela diferença entre a energia cinética T e potencial V do sistema em função de q e \dot{q}:

L=T-V   (1.11)

É importante que você note que a lagrangiana do sistema não expressa a energia total, mas sim a diferença entre as energias cinética e potencial, como foi ressaltado.

Seguindo o formalismo, as equações de movimento são dadas pelas equações de Euler-Lagrange:

 \frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}})-\frac{\partial{L}}{\partial{q_{k}}}=0  (1.12)

Mas nosso foco aqui é em simetrias e não na descrição lagrangeana da mecânica, então vamos nos ater a isso. Se existir alguma coordenada generalizada q_{k} a qual L não depende então obviamente sua derivada primeira em relação a ela não existe, fazendo com que tenhamos:

 \frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}})=0  (1.13)

Assim fica evidente que \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}} é uma quantidade conservada, chamada de momento generalizado conjugado à coordenada q_{k} e fazendo isso a nossa equação de Euler-Lagrange expressa a conservação desse momento generalizado.

Sem fazer apelo para matemática, pois isso não é uma aula e sim um texto simples em um blog, podemos dizer que existe um teorema elegante que relaciona essas quantidade conservadas com as simetrias vistas anteriormente. Chamamos esse teorema de Teorema de Noether e ele diz que se existe uma simetria então existe uma quantidade conservada. Do ponto de vista do que queremos abordar, esta quantidade conservada recebe o nome de carga.  Mas não entenda como carga elétrica apenas, pois ela pode ser carga de cor, carga de sabor, carga gravitacional, que serão explicadas nos futuros textos. Mas de forma geral na mecânica clássica esse teorema nos fornece a conservação do momento para translações espaciais, porém nosso foco na mecânica clássica nesse princípio é apenas para facilitar a visualização de conceitos básicos.

Mas agora vou levantar uma questão interessante: Vimos que as simetrias dessas equações são mantidas quando submetemos elas a transformações, mas será que suas soluções também mantém essa simetria? Ou seja, solução e equação são simétricas sob as mesmas transformações ou há quebra espontânea da simetria?

Procurando uma forma simples de abordar isso eu encontrei um texto no ArsPhysica e uma tese de mestrado bem interessantes sobre o assunto, mas em particular irei me basear no primeiro texto citado, pois a analogia da quebra de simetria no sistema clássico se encaixa muito bem aqui e pode ser entendido até por um aluno do primeiro ano, exigindo o mínimo de matemática.

Vimos que as equações que regem a mecânica podem possuir certa simetria, ou seja, podemos submetê-las a determinadas transformações e elas continuam sendo as mesmas. Porém quando extraímos as soluções dessas equações e submetemos a essas mesmas transformações elas se comportarem de forma diferente, ou seja, não mantiver a simetria, nós dissemos que houve uma quebra espontânea da simetria. Mas como ver isso em um sistema clássico?

Tomemos como exemplo uma partícula qualquer de massa m que está confinada a se movimentar em um aro perfeitamente circular e que está em repouso, como na imagem:

Imagem 1 – movimentação de uma partícula em um aro.

A partícula está sujeita, principalmente, as forças gravitacional e centrifuga tendo sua energia potencial efetiva dada por:

 V_{efetivo}=\frac{1}{2}mv^2+mgH  (1.14)

Onde obviamente

 v=R\omega sen\theta  (1.15)

e

 H=R(1-cos\theta)  (1.16)

Talvez o valor de H não fique tão evidente para você, mas para isso basta ver a variação do raio R e do ângulo \theta durante o movimento da partícula.

Substituindo na equação da energia potencial temos:

 V_{efetivo}=\frac{1}{2}m(R\omega sen\theta)^2+mg R(1-cos\theta)  (1.17)

Agora precisamos analisar a equação: Primeiramente sabemos que m, g e R são constantes e que nosso sen\theta e cos\theta possuem variações totalmente conhecidas compreendidas entre -1 e 1. Portanto precisamos conhecer apenas \omega, velocidade angular, para entendermos bem o comportamento do potencial.

Sem levantarmos muitas hipóteses podemos considerar que a frequência angular pode ser \omega<\sqrt{\frac{g}{R}} ou \omega>\sqrt{\frac{g}{R}}. Para o primeiro caso temos um gráfico habitual do potencial que agora varia dependendo apenas de \theta, da seguinte forma:

Imagem 2 – Gráfico com eixo das abscissas representando a variação do ângulo θ

Quando o ângulo \theta for igual a zero, nós temos um ponto de mínimo no potencial. Quando a partícula estiver nesse ponto dizemos que ela está em equilíbrio estável, ou seja, se a deslocarmos para a esquerda ou para a direita ela sofrerá a ação de uma força restauradora que tentará trazê-la de volta a posição de equilíbrio, assim tanto faz para a partícula que está parada no ponto de equilíbrio se movimentar para a esquerda ou para a direita, pois há uma simetria na situação, já que em ambos os lados ela terá que subir potencial acima.

Já quando consideramos \omega>\sqrt{\frac{g}{R}} temos um problema mais interessante. Traçando o gráfico temos:

Imagem 3 – Gráfico com eixo das abscissas representando a variação do ângulo θ

Note que agora surgem dois pontos de mínimo e um de máximo local. O ponto de máximo local é um ponto de equilíbrio instável, pois se colocarmos a partícula naquele ponto qualquer mínima perturbação que ela sofrer pode tirá-la dali. Já os pontos de mínimo são novamente estáveis, porém há uma diferença crucial, se a partícula se movimentar para a direita (caso ela esteja no primeiro mínimo) ela irá subir até o ponto de máximo local e depois descer para o segundo mínimo, mas se ela se movimentar para a esquerda ela irá subir potencial a cima apenas. Ou seja, a simetria não foi mantida(!), a isso damos o nome de quebra de simetria e será muito importante nos textos seguintes para compreendermos como surgem as partículas.

Bibliográfica

– Lemos – Mecânica Analítca 2º Ed.

– Feynman – Lectures on Physics Vol 1.

– Goldenstein – Classical Mechanics volume 1.

[Thiago M. Guimarães]

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