Tópicos Introdutórios de Mecânica Clássica – Parte 2

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Tópicos Introdutórios de Mecânica Clássica – Parte 1, Parte 2, Parte 3

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Agora que já sabemos relacionar a força e a energia de forma primária, chegou à hora de entendermos melhor como trabalhar com a energia potencial. Para deixar nosso tratamento mais simples e interessante, necessitamos agora abordar forças conservativas.

Forças conservativas são aquelas que seu trabalho não depende da trajetória, mas apenas dos pontos inicial e final.  Isso significa que a integral de linha ao longo de qualquer caminho escolhido, ligando esses dois pontos, tem sempre o mesmo valor, assim a força dependente unicamente do vetor posição do corpo, \vec{r}. Essa é uma severa condição para que uma força seja conservativa

a figura mostra três possíveis caminho ligando A e B.

Antes de definir mais precisamente a energia potencial você deve se atentar que a energia potencial é, nesse caso, apenas dependente da posição do corpo, ou seja, ela é uma função de x, y e z, que vetorialmente pode ser dado pelo vetor posição \vec{r}=x\hat{i}+ y\hat{j}+ z\hat{k}. Assim essa energia potencial irá variar de acordo com a posição espacial que o corpo ocupa, acarretando também uma variação na energia cinética do corpo, uma vez que pela conversação de energia temos a relação E_{M}=E_{C}+U(x) , em que E_{C}=\frac{1}{2}mv^{2}.

Juntando o que definimos acima com o que vimos na parte 1 desse texto, podemos escrever a relação da energia potencial e trabalho com a força da seguinte forma, considerando apenas em x para simplificar a situação:

\int_{x_{0}}^{x}{F(x^{,})}dx^{,}=-U(x)=-W    (1)

ou seja, a energia potencial é menos o trabalho realizado pela força \vec{F} quando o corpo se move desde o ponto de referencia x_{0} até o ponto x. Cabe aqui fazer algumas considerações sobre o ponto  x_{0}, esse ponto é escolhido para se evitar constantes aditivas no problema, por esse motivo tomamos um ponto x_{0} onde a energia potencial seja nula, U(x_{0})=0, logo abaixo falaremos novamente sobre isso quando estivermos tratando do gráfico da energia potencial. Caso o leitor já tenha conhecimento de gradiente e rotacional, e deseje uma forma mais precisa de se obter a energia potencial, veja esse apêndice: apendice1.

Também é interessante você se perguntar o que aconteceria se o trabalho não fosse independente do caminho escolhido, nesse caso a integral teria valores diferentes e a energia potencial não poderia ser definida univocamente. Partindo disso e da equação (1) podemos encontrar facilmente a força F(x):

F(x)=-\frac{dU(x)}{dx}    (2)

A equação (2) só pode ser escrita se e somente se a força for conservativa. Note que nesse caso se considerássemos uma energia potencial U(x_{0})\neq0, a equação (2) nos daria:

F(x)=-\frac{dU(x)}{dx}+\frac{dU(x_{0})}{dx}=-\frac{dU(x)}{dx}    (3)

Isso significa que uma energia potencial U(x_{0})\neq0 não contribui em nada para a força que age sobre o corpo, pois ele é uma constante.

Outro aspecto importante da força conservativa é que a energia mecânica E_{M}=E_{C}+U se conserva para quaisquer pontos arbitrários da trajetória da partícula. Ou seja, quando um corpo está sob a ação de uma força resultante conservativa sua energia mecânica é sempre constante.    

Agora vamos analisar o gráfico da energia potencial. A equação da energia potencial mais simples que conhecemos é U=mgx, nesse caso a força que atua sobre o corpo é a da gravidade. Graficamente a energia potencial gravitacional é dado por uma reta devido ao caráter linear da equação:

Figura 1 – a imagem mostra a sobreposição do gráfico da força e da energia potencial

 

Como vimos anteriormente, nós podemos descobrir facilmente a força que atua sobre um corpo conhecendo sua energia potencial, nesse caso temos:

F(x)=-\frac{dU}{dx}=mg\frac{dx}{dx}=-mg    (4)

Essa é exatamente a força peso que atua sobre o corpo. 

Esse é o momento de falarmos a ultima vez sobre U_{0}\neq0, se tivessemos o pontecial U_{0}\neq0 nosso gráfico apenas estaria deslocado para cima, sendo totalmente irrelevante para nossa análise, uma vez que a força e forma da energia potencial seriam os mesmos.

Abordando agora uma energia potencial elástica, U(x)=\frac{1}{2}kx^{2}, temos uma parábola:


Gráfico 1 – Energia potencial elástica.

 

Se derivarmos essa energia potencial iremos encontrar a força elástica:

F(x)=-\frac{dU}{dx}=\frac{k}{2}\frac{dx^2}{dx}=-kx    (5)

Vamos fazer uma analise dessa energia potencial. Repare que em x=x_{0} temos um ponto crítico no gráfico, ou seja:

\left(\frac{dU(x)}{dx}\right)_{x_{0}}=-F=0    (6)

Isso mostra claramente que a força que atua no corpo nesse ponto é nula, com isso conseguimos ver que se um corpo for colocado naquele ponto, ele permanecerá lá, pois nenhuma força age sobre ele, porém se ele for deslocado um pouco para qualquer um dos dois lados aparecerá sobre o corpo uma força restauradora que tentará trazê-lo de volta a posição de equilíbrio, por esse motivo dizemos que quando o corpo está no ponto de potencial mínimo ele está em equilíbrio estável. Sobrepondo o gráfico da força com a energia potencial temos:

Figura 2 – Sobreposição dos gráficos da força elástica e energia potencial elástica

Partindo desse exemplo podemos tratar o oscilador harmônico simples. Como acabamos de ver, se deslocarmos até o ponto B um corpo que está inicialmente em repouso no ponto de equilíbrio estável x_{0}, aparecerá uma força restauradora F=-kx sobre ele, essa força tentará trazer o corpo de volta a posição de equilíbrio, mas vejamos: Quando deslocamos o corpo no ponto B ele estará em uma posição onde existe energia potencial sobre ele, a medida que força restauradora coloca esse corpo em movimento para tentar trazê-lo ao ponto de equilíbrio sua energia potencial vai dando lugar a energia cinética, até que no ponto de equilíbrio o potencial será mínimo e a energia cinética será máxima fazendo com que o corpo consiga passar por ele e chegue até o ponto A   ,que tem o mesmo potencial de B, caso não haja dissipação de energia no sistema o corpo ficará oscilando entre essas duas posições de A  e B, chamamos isso de oscilação harmônica.

É possível encontrarmos uma equação que descreva o movimento do corpo utilizando a equação (5)?  Sim e é exatamente esse nosso interesse agora.

Sabemos que a força é dada por F=ma=m\frac{d^2x}{dt^2}, igual a (5) temos:

m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx    (7)

então:

m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0    (8)

Para simplificar nossa notação chamaremos \frac{d^2x}{dt^2} de \ddot{x}:

m\ddot{x}+kx=0   (9)

A equação (9) é uma equação diferencial de segunda ordem que provavelmente você não deve ter afinidade alguma, mas tentarei mostrar uma forma simples de resolver ela para que obtenhamos uma solução x(t) satisfatória. Primeiro passo dividimos a equação (9) por m:

 \ddot{x}+\frac{k}{m}x=0    (10)

onde você deve se lembrar que \frac{k}{m} é a nada mais do que a freqüência angular ao quadrado, \omega_{0}^{2}, então:

\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0    (11)

Como nossa proposta aqui é demonstrar as equações e conservações a partir da força, não há muito que possamos fazer, teremos que resolver a equação diferencial. Mas não se desespere, equações diferenciais que possuem essa forma possuem uma solução com forma também conhecida, ou seja, essa equação possui a seguinte solução:

x(t)=e^{pt}    (12)

e temos, uma característica importante da equação diferencial é que se somarmos duas solução linearmente independentes teremos uma nova solução válida, então    

x(t)=C_{1}e^{pt}+C_{2} e^{-pt}    (13)

também é solução da equação (11), sendo C_{1} e C_{2} constantes arbitrárias.

Primeira coisa que temos que fazer é determinar a constante p, para isso derivamos duas vezes a solução (12) e depois substituímos na equação (11). Assim:

\ddot{x}(t)=p^{2}e^{pt}    (14)

Substituindo a (12) e a (14) na equação (11):

p^{2}e^{pt}+\omega_{0}^{2} e^{pt}=0    (15)

(p^{2}+\omega_{0}^{2}) e^{pt}=0    (16)

descartamos a hipótese de e^{pt}=0, assim temos:

(p^{2}+\omega_{0}^{2}) e^{pt}=0    (17)

p^{2}=-\omega_{0}^{2}    (18)

p=\sqrt{-\omega_{0}^{2}}=\pm i\omega_{0}    (19)

Agora que encontramos o valor de p, podemos escrever a solução (13) da seguinte forma:

x(t)=C_{1}e^{ i\omega_{0}t}+C_{2} e^{- i\omega_{0}t}    (20)

 A expressão (20) nos diz a posição da partícula, mas necessita ser inteiramente real, para tanto teremos que utilizar alguns truques utilizando as constantes C_{1} e C_{2} para eliminarmos o número complexo i.

Primeiramente consideramos que C_{2} seja o conjugado de C_{1}, então podemos escrevê-los em coordenadas polares da seguinte forma:

C_{1}=a+ib=re^{i\theta}    (21)

e

C_{2}=a-ib=re^{-i\theta}    (22)

Assim nossa solução fica:

x(t)= re^{i\theta}e^{ i\omega_{0}t}+ re^{-i\theta}e^{- i\omega_{0}t}    (23)

x(t)= r\left[e^{i(\omega_{0}t+\theta)}+ e^{-i(\omega_{0}t+\theta)}\right]    (24)

Escrevendo na forma trigonométrica, temos:

e^{i(\omega_{0}t+\theta)}+e^{-i(\omega_{0}t+\theta)}=cos(\omega_{0}t+\theta)+isen(\omega_{0}t+\theta)+cos(\omega_{0}t+\theta)-isen(\omega_{0}t+\theta)    (25)

 Substituindo na (24):

x(t)= r[cos(\omega_{0}t+\theta)+isen(\omega_{0}t+\theta)+cos(\omega_{0}t+\theta)-isen(\omega_{0}t+\theta)] (26)

x(t)=2rcos(\omega_{0}t+\theta)    (27)

Sendo 2r=A a amplitude máxima do movimento do oscilador harmônico simples. A solução (27) é totalmente satisfatória para o que queremos, mas vamos mexer um pouco mais nela para facilitar encontrar a velocidade.

 Acos(\omega_{0}t+\theta)=Acos(\omega_{0}t)cos\theta-Asen(\omega_{0}t)sen\theta    (28)

Onde Acos\theta e Asen\theta são constantes que chamaremos de B_{1} e -B_{2}, respectivamente. Nossa solução fica:

x(t)= B_{1}cos(\omega_{0}t)+B_{2}sen(\omega_{0}t)    (29)

Agora iremos derivar para encontrar a função da velocidade:

\frac{dx(t)}{dt}=v(t)=-B_{1}\omega_{0}sen(\omega_{0}t)+B_{2}\omega_{0}cos(\omega_{0}t)    (30)

Assim encontramos a função horária do espaço e da velocidade de um oscilador harmônico simples a partir da força que atua sobre ele. Graficamente podemos expressar a aceleração, a velocidade e o espaço percorrido pelo oscilador harmônico simples da seguinte maneira:

Figura 3 – Sobreposição dos graficos

Agora podemos demonstrar duas coisas importantes: a amplitude máxima e a energia do oscilador conhecendo apenas as condições iniciais do problema. Suponha que para t=0 temos x(0)=x_{0} e v(0)=v_{0}. Considerando t=0 na (29) e (30) temos:

x_{0}=B_{1}   (31)

e

v_{0}=B_{1}\omega_{0}   (32)

Como já difiimos B_{1} e B_{2} anteriormente, temos:

x_{0}=Acos\theta   (33)

e

v_{0}=-A\omega_{0}sen\theta   (34)

Considerando a relação trigonométrica cos^{2}\theta + sen^{2}\theta=1, temos:

\left(\frac{x_{0}}{A}\right)^{2}+\left(-\frac{v_{0}}{A\omega_{0}}\right)^{2}=1  (35)

Assim a amplitude máxima A do movimento do oscilador harmônico simples é:

\left[x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right]^{\frac{1}{2}}=A   (36)

Aqui demonstramos a amplitude máxima em termos apenas das condições iniciais do oscilador e quando ele se encontra nessa amplitude sua energia é puramente potencial, a demonstração é bem simples. Sabemos que \omega_{0}^{2}=k/m, assim a equação (36) nos dá:

 \left[x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\frac{k}{m}}\right]^{\frac{1}{2}}=A   (37)

assim:

 \left[\frac{kx_{0}^{2}+ mv_{0}^{2}}{k}\right]=A^{2}   (38)

então:

\left[kx_{0}^{2}+ mv_{0}^{2}\right]=kA^{2}  (39)

pela conservação de energia sabemos que a energia mecânica inicial e final do oscilador é a mesma, ou seja E_{M_{i}}=E_{M_{f}}, como:

E_{M_{i}}=\frac{1}{2}kx_{0}^{2}+ \frac{1}{2}mv_{0}^{2}  (40)

temos:

2E_{M}=kA^{2}   (41)

finalmente temos a energia mecânica:

E_{M}=\frac{1}{2}kA^{2}  (42)

Com isso provamos que quando a amplitude do movimento do oscilador for máxima a sua energia mecânica será inteiramente potencial.

Termino aqui a segunda parte de nossa série de textos. Espero que tenha ficado bem claro para você o que é uma força conservativa e a relação entre energia potencial e força.

No próximo abordaremos o potencial de Lennard-Jones e teoremas de conservação.

Bibliografia:

Barcelos Neto. j: Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana.

Symons K.R: Mechanics vol 1

Kazunori W.: Mecânica Clássica vol 1.

Nussenzveig H.M: Física Básica Vol 1.

[Thiago M. Guimarães]

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