Tópicos Introdutórios de Mecânica Clássica – Parte 3

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Tópicos Introdutórios de Mecânica Clássica – Parte 1Parte 2, Parte 3.

Comentário Inicial

Esse é nosso ultimo post da seqüência de três posts sobre uma introdução a mecânica clássica para alunos do primeiro ano da graduação de física em engenharia. Nesse texto trataremos de três tópicos principais, primeiramente veremos campos, potencial e energia potencial, depois veremos o potencial de Lennard-Jones que é uma aplicação interessante do que vimos sobre energia potencial e para encerrar falaremos sobre teoremas de conservação do momento linear e angular, mas sem entrar em mérito da mecânica analítica.

O campo, o potencial e a energia potencial

Muito falamos sobre campos, principalmente o gravitacional e o elétrico.

Como sabemos a força elétrica entre duas cargas, q_{1} e q_{2}, é dada por

\vec{F}=Kq_{1}q_{2}\frac{\vec{r}}{r^{3}}

e a força gravitacional entre duas partículas com massas m_{1} e m_{2}, é;

 \vec{F}=-Gm_{1}m_{2}\frac{\vec{r}}{r^{3}}

Como nosso objetivo é compreender o que é o campo, vamos analisar a força nesse conceito. Podemos dizer que a carga q_{1} situada em um ponto  P produz uma “condição” em R de tal forma que quando colocamos a carga  q_{2} em R ela “sente” a força elétrica atuando sobre ela. Nesse caso chamaremos essa “condição” produzida por q_{1} de \vec{E}, assim \vec{F} é a resposta de q_{2} a  \vec{E} e podemos escrever a força como:

\vec{F}=q_{2}\vec{E}

Em que \vec{E} é o vetor campo elétrico que é dado por

\vec{E}=kq_{1}\frac{\vec{r}}{r^{3}}

É importante notar que podemos (e devemos!) ver essa situação sobre dois aspectos, o primeiro é que esse campo em questão é produzido por algo que pode ser uma carga ou uma massa, o segundo é que esse campo atua em algo (carga ou massa). Essa simples analise não deve ser subestimada, uma vez que a realidade pode ser bem complexa.

Para o caso gravitacional podemos fazer exatamente a mesma coisa, tanto que na descrição acima já generalizei tanto para campos criados por cargas quanto por massas. Sendo assim, para a força gravitacional, temos;

\vec{F}=-Gm_{1}m_{2}\frac{\vec{r}}{r^{3}}

então

\vec{F}=m_{2}\vec{C}

Em que \vec{C} é o campo gravitacional produzido por m_{1}, em que \vec{C}= Gm_{1}\frac{\hat{r}}{r^{3}} que, assim como o campo elétrico, possui direção radial. O \vec{C} possui três componentes sendo cada uma delas uma função de \left(x,y,z\right), assim qualquer objeto que crie um campo estará criando um vetor \vec{C}.

A energia potencial é energia propriamente dita e está relacionada a um sistema de interação entre dois ou mais corpos. Podemos defini-la em termos da força gravitacional, uma vez que ela é conservativa:

U=-\int \vec{F} \cdot d\vec{s}=-m_{2}\int \vec{C} \cdot d\vec{s}= \frac{Gm_{1}m_{2}}{r_{1,2}}

Podemos ver que no caso gravitacional temos a energia associada à interação entre as massas por meio do campo gravitacional criado por elas. O mesmo vale para o caso eletrostático, porém o campo é gerado por cargas elétricas.

 Agora vamos nos atentar para uma coisa específica, a integral \int \vec{C} \cdot d\vec{s} é o que chamamos de potencial, e podemos escrevê-lo da seguinte forma:

V=\frac{U}{m_{2}}=\int \vec{C} \cdot d\vec{s}=-G\frac{m_{1}}{r}

Porém a energia e o potencial só podem ser calculados em relação a algum ponto, e obtemos apenas sua variação, mas muitas vezes escolhe convenientemente regiões onde o potencial inicial ou a energia inicial é zero, para desconsiderar constantes aditivas.

É evidente que uma variação na energia potencial é igual a menos o trabalho, como falamos anteriormente, \Delta U=-W, assim o potencial V pode ser escrito como:

 V(r)=-\frac{W}{m_{2}}

Assim o potencial pode ser entendido como o trabalho para deslocar uma massa unitária de um ponto a outro do campo. Considerando que nenhum desses pontos esteja infinito, mas sim em A e B, temos:

V_{A}-V_{B}=\frac{W_{AB}}{m}

Assim vemos que podemos traduzir a definição do potencial citada acima como o potencial sendo o trabalho por unidade de massa, no caso do campo gravitacional. No caso do campo elétrico o potencial é o trabalho por unidade de carga.

Uma outra forma, essa bem simples, de se entender o potencial é pensar que você está segurando uma bola a uma determinada altura do chão, quanto mais alto você levantar a bola em relação ao chão, maior o seu “potencial” de conseguir atingir o chão com uma determinada energia pra uma mesma massa, ou seja, esse potencial independe da massa da bola, já a energia propriamente dita vai depender da massa dessa bola.

A ultima coisa interessante sobre o potencial (para esse texto) é a sua relação direta com o campo. Uma vez que a variação da energia potencial é;

\Delta U=W_{A \rightarrow B}=\int_{a}^{b}\vec{F}\cdot d\vec{s}=m_{2}\int_{a}^{b}\vec{C}\cdot d\vec{s}

Então para o potencial temos:

V_{a}-V{b}=\int_{a}^{b}\vec{C}\cdot d\vec{s}

Assim para temos a seguinte relação entre o campo elétrico e o potencial:

\vec{C}=-\nabla V

Ou seja, o campo é igual ao negativo do gradiente de um potencial escalar. Isso nos mostra que em regiões onde o potencial é constante o campo é nulo.

Aplicação interessante: O Potencial de Lennard-Jones.

Depois de tudo que vimos sobre energia potencial e potencial é hora de falarmos sobre uma aplicação interessante.

Em 1925 o físico J.E Lennard-Jones propõe uma função de energia potencial que inclui tanto forças atrativas quanto repulsivas entre dois átomos de uma molécula diatômica, por exemplo. Isso torna esse potencial particularmente interessante e de simples tratamento, podemos escrevê-lo da seguinte forma:

V_{L.S}(r)=4\epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12}-\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right]

Onde \epsilon e \sigma são constantes que podem ser ajustadas experimentalmente.  

Comparação do potencial de Lennard-Jones, experimental e teórico.

Comparação do potencial de Lennard-Jones, experimental e teórico.

A nossa primeira curiosidade nesse potencial é conhecer essas forças atrativas e repulsivas entre os dois átomos. Como vimos anteriormente à força se relaciona com o potencial da seguinte forma:

F(r)=-\frac{dV}{dr} que também pode ser escrito em termos do gradiente: F(r)=-\nabla V

Realizando a derivada em r temos então a força:

F(r)= 4\epsilon\left[12\frac{\sigma^{12}}{r^{13}}-6\frac{\sigma^{6}}{r^7}\right]

Agora temos uma curiosidade em particular, suponha que um dos átomos possua massa bem maior que a do outro átomo, e esse primeiro átomo permanece fixo enquanto o de menor massa oscila em torno de um ponto de equilíbrio entre eles, qual é esse ponto de equilíbrio e qual é a freqüência de vibração desse átomo de pequena massa?

Vimos anteriormente que o ponto de equilíbrio é o valor de r em que F=dV/dr=0 e o período de oscilação é dado por:

T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}

em que \omega_{0}=\sqrt{\frac{K}{m}}

 Como o ponto de equilíbrio é aquele onde a força F(r) é zero, temos:

F(r)= 4\epsilon\left[12\frac{\sigma^{12}}{r^{13}}-6\frac{\sigma^{6}}{r^7}\right]=0

Agora brincamos um pouco com a álgebra e obtemos:

r= \left(2\right)^{1/6}\sigma

Esse é o nosso ponto de equilíbrio no qual o átomo de menor massa oscila. Como o movimento é uma oscilação podemos encontrar uma constante restauradora K a partir da derivada segunda do potencial:

\frac{d^2V}{dr^2}=4\epsilon\left[156\frac{\sigma^{12}}{r^{14}}-42\frac{\sigma^{6}}{r^8}\right]\equiv K

 Uma vez que oscilação é em torno do ponto de equilíbrio, temos:

\frac{d^{2} V}{dr^{2}}= 4 \epsilon \left[ 156 \frac{ \sigma^{12}}{\left( 2^{1/6}\sigma \right)^{14}} - 42 \frac{\sigma^{6}}{\left( 2^{1/6}\sigma\right)^{8}}\right]\equiv K

 Assim temos;

K=68\frac{\epsilon}{\sqrt[3]{2}\sigma^{2}}

Agora que temos K podemos facilmente encontrar a período:

T=2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}

Substituindo o valor de K temos:

T=2^{1/6}\pi\sigma\sqrt{\frac{m}{17\epsilon}}

 Agora que vimos essa interessante aplicação vamos para nosso ultimo tópico.

Teoremas de conservação.

– momento linear

Como vimos na equação (1.8) do primeiro texto, podemos ver que se a força resultante for zero teremos:

\Delta p= 0

Assim:

p_{f}=p_{i}

Fica evidente que o momento linear se conserva caso a resultante das forças externas sobre a partícula seja nula, e esse é nosso enunciado da lei de conservação do momento linear.

Trabalhando vetorialmente é interessante ressaltar que o momento linear pode ser conservado em uma determinada direção e não ser conservado em outra. Ou seja, se em uma determinada direção fixa \vec{s} , tivermos \vec{F} \hat{s}=0, então

\frac{ d\vec{p}}{dt}\hat{s}=0

então

\vec{p} \hat{s}=cte

Podemos enunciar então: a componente do momento linear se conserva na direção fixa em que a componente da força é nula.

– Momento angular

O momento angular de uma partícula de massa m, com velocidade v e localizada instantaneamente na posição \vec{r} medida em relação a uma origem O, é definida por:

\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}

Como você já deve ter notado, o momento angular é um análogo rotacional do momento linear. Derivando o momento angular temos:

\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d\left(\vec{r}\times\vec{p}\right)}{dt}

\dot{\vec{L}}=\dot{\vec{r}}\times\vec{p}+\vec{r}\times\dot{\vec{p}}

em que \dot{\vec{r}}\times\vec{p}=\vec{v}\times\left(m\vec{v}\right)=0 uma vez que os vetores são paralelos, portanto:

\dot{\vec{L}}=\vec{r}\times\dot{\vec{p}}

Como \dot{\vec{p}}=\vec{F}, então

\dot{\vec{L}}=\vec{r}\times{\vec{F}}=\vec{N}

Em que \vec{N} é o torque em relação a mesma origem do momento angular, assim vemos que a variação temporal do momento angular de uma partícula é igual ao torque externo. Se o torque externo for igual a zero, \vec{N}=0, o momento angular se conserva.

Da mesma forma que o momento linear pode se conservar em uma direção fixa e não em outra, o momento angular também pode se conservar para uma direção fixa \vec{s} na qual \vec{N}\hat{s}=0;

\dot{\vec{L}}\hat{s}=0

\frac{d}{dt}\left(\vec{L}{\hat{s}}\right)=0

\vec{L}{\hat{s}}=cte

Assim a componente do momento angular é conservada na direção em que a componente do torque é nula durante o movimento.

Uma observação importante é que uma partícula pode ter momento angular em relação a uma origem, mesmo quando se translada em movimento retilíneo uniforme.

Partícula se movendo em MRU

Partícula se movendo em MRU

O momento angular em relação à origem é dado por \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p} é um vetor em -\hat{k} de magnitude L=mrvsen\theta. Como a força resultante sobre a partícula é nula o torque também é nulo, o que mostra que o vetor momento angular é constante (em módulo e sentido), é fácil notar a constância do sentido, mas o da magnitude nem tanto. Observe que:

L=mrvsen\theta =mvrsen\theta

Em que rsen\theta é a distância de máxima aproximação da partícula á origem, que é representada na figura por a. Como essa distância é constante, o módulo de \vec{L} também é constante, e com isso vemos a relação entre momento linear e angular em um movimento retilíneo,  e com isso vemos a relação entre momento linear e angular em um movimento retilíneo.    

Aqui encerro os tópicos introdutórios sobre mecânica clássica e espero que tenha sido útil para alguém. Qualquer dúvida, pedido, correção, sugestão será muito bem vinda e é só deixar nos comentários. Estou pensando em fazer talvez mais dois capítulos desses tópicos, um sobre forças centrais e outro sobre rotação de corpos rígidos, mas só farei se houver interesse por parte dos leitores. 

[Thiago M. Guimarães]

Referências:

[1] Barcelos Neto. j: Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana.

[2] Symons K.R: Mechanics vol 1

[3] Kazunori W.: Mecânica Clássica vol 1.

[4] Nussenzveig H.M: Física Básica Vol 1.

[5] Feynman R.P: Lectures on Physics Vol 1.

[6] Notas de Aula do Professor Canesin (UEM)

[7] Griffiths D. J.: Eletrodinâmica Vol.1

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Tópicos Introdutórios de Mecânica Clássica – Parte 2

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Tópicos Introdutórios de Mecânica Clássica – Parte 1, Parte 2, Parte 3

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Agora que já sabemos relacionar a força e a energia de forma primária, chegou à hora de entendermos melhor como trabalhar com a energia potencial. Para deixar nosso tratamento mais simples e interessante, necessitamos agora abordar forças conservativas.

Forças conservativas são aquelas que seu trabalho não depende da trajetória, mas apenas dos pontos inicial e final.  Isso significa que a integral de linha ao longo de qualquer caminho escolhido, ligando esses dois pontos, tem sempre o mesmo valor, assim a força dependente unicamente do vetor posição do corpo, \vec{r}. Essa é uma severa condição para que uma força seja conservativa

a figura mostra três possíveis caminho ligando A e B.

Antes de definir mais precisamente a energia potencial você deve se atentar que a energia potencial é, nesse caso, apenas dependente da posição do corpo, ou seja, ela é uma função de x, y e z, que vetorialmente pode ser dado pelo vetor posição \vec{r}=x\hat{i}+ y\hat{j}+ z\hat{k}. Assim essa energia potencial irá variar de acordo com a posição espacial que o corpo ocupa, acarretando também uma variação na energia cinética do corpo, uma vez que pela conversação de energia temos a relação E_{M}=E_{C}+U(x) , em que E_{C}=\frac{1}{2}mv^{2}.

Juntando o que definimos acima com o que vimos na parte 1 desse texto, podemos escrever a relação da energia potencial e trabalho com a força da seguinte forma, considerando apenas em x para simplificar a situação:

\int_{x_{0}}^{x}{F(x^{,})}dx^{,}=-U(x)=-W    (1)

ou seja, a energia potencial é menos o trabalho realizado pela força \vec{F} quando o corpo se move desde o ponto de referencia x_{0} até o ponto x. Cabe aqui fazer algumas considerações sobre o ponto  x_{0}, esse ponto é escolhido para se evitar constantes aditivas no problema, por esse motivo tomamos um ponto x_{0} onde a energia potencial seja nula, U(x_{0})=0, logo abaixo falaremos novamente sobre isso quando estivermos tratando do gráfico da energia potencial. Caso o leitor já tenha conhecimento de gradiente e rotacional, e deseje uma forma mais precisa de se obter a energia potencial, veja esse apêndice: apendice1.

Também é interessante você se perguntar o que aconteceria se o trabalho não fosse independente do caminho escolhido, nesse caso a integral teria valores diferentes e a energia potencial não poderia ser definida univocamente. Partindo disso e da equação (1) podemos encontrar facilmente a força F(x):

F(x)=-\frac{dU(x)}{dx}    (2)

A equação (2) só pode ser escrita se e somente se a força for conservativa. Note que nesse caso se considerássemos uma energia potencial U(x_{0})\neq0, a equação (2) nos daria:

F(x)=-\frac{dU(x)}{dx}+\frac{dU(x_{0})}{dx}=-\frac{dU(x)}{dx}    (3)

Isso significa que uma energia potencial U(x_{0})\neq0 não contribui em nada para a força que age sobre o corpo, pois ele é uma constante.

Outro aspecto importante da força conservativa é que a energia mecânica E_{M}=E_{C}+U se conserva para quaisquer pontos arbitrários da trajetória da partícula. Ou seja, quando um corpo está sob a ação de uma força resultante conservativa sua energia mecânica é sempre constante.    

Agora vamos analisar o gráfico da energia potencial. A equação da energia potencial mais simples que conhecemos é U=mgx, nesse caso a força que atua sobre o corpo é a da gravidade. Graficamente a energia potencial gravitacional é dado por uma reta devido ao caráter linear da equação:

Figura 1 – a imagem mostra a sobreposição do gráfico da força e da energia potencial

 

Como vimos anteriormente, nós podemos descobrir facilmente a força que atua sobre um corpo conhecendo sua energia potencial, nesse caso temos:

F(x)=-\frac{dU}{dx}=mg\frac{dx}{dx}=-mg    (4)

Essa é exatamente a força peso que atua sobre o corpo. 

Esse é o momento de falarmos a ultima vez sobre U_{0}\neq0, se tivessemos o pontecial U_{0}\neq0 nosso gráfico apenas estaria deslocado para cima, sendo totalmente irrelevante para nossa análise, uma vez que a força e forma da energia potencial seriam os mesmos.

Abordando agora uma energia potencial elástica, U(x)=\frac{1}{2}kx^{2}, temos uma parábola:


Gráfico 1 – Energia potencial elástica.

 

Se derivarmos essa energia potencial iremos encontrar a força elástica:

F(x)=-\frac{dU}{dx}=\frac{k}{2}\frac{dx^2}{dx}=-kx    (5)

Vamos fazer uma analise dessa energia potencial. Repare que em x=x_{0} temos um ponto crítico no gráfico, ou seja:

\left(\frac{dU(x)}{dx}\right)_{x_{0}}=-F=0    (6)

Isso mostra claramente que a força que atua no corpo nesse ponto é nula, com isso conseguimos ver que se um corpo for colocado naquele ponto, ele permanecerá lá, pois nenhuma força age sobre ele, porém se ele for deslocado um pouco para qualquer um dos dois lados aparecerá sobre o corpo uma força restauradora que tentará trazê-lo de volta a posição de equilíbrio, por esse motivo dizemos que quando o corpo está no ponto de potencial mínimo ele está em equilíbrio estável. Sobrepondo o gráfico da força com a energia potencial temos:

Figura 2 – Sobreposição dos gráficos da força elástica e energia potencial elástica

Partindo desse exemplo podemos tratar o oscilador harmônico simples. Como acabamos de ver, se deslocarmos até o ponto B um corpo que está inicialmente em repouso no ponto de equilíbrio estável x_{0}, aparecerá uma força restauradora F=-kx sobre ele, essa força tentará trazer o corpo de volta a posição de equilíbrio, mas vejamos: Quando deslocamos o corpo no ponto B ele estará em uma posição onde existe energia potencial sobre ele, a medida que força restauradora coloca esse corpo em movimento para tentar trazê-lo ao ponto de equilíbrio sua energia potencial vai dando lugar a energia cinética, até que no ponto de equilíbrio o potencial será mínimo e a energia cinética será máxima fazendo com que o corpo consiga passar por ele e chegue até o ponto A   ,que tem o mesmo potencial de B, caso não haja dissipação de energia no sistema o corpo ficará oscilando entre essas duas posições de A  e B, chamamos isso de oscilação harmônica.

É possível encontrarmos uma equação que descreva o movimento do corpo utilizando a equação (5)?  Sim e é exatamente esse nosso interesse agora.

Sabemos que a força é dada por F=ma=m\frac{d^2x}{dt^2}, igual a (5) temos:

m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx    (7)

então:

m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0    (8)

Para simplificar nossa notação chamaremos \frac{d^2x}{dt^2} de \ddot{x}:

m\ddot{x}+kx=0   (9)

A equação (9) é uma equação diferencial de segunda ordem que provavelmente você não deve ter afinidade alguma, mas tentarei mostrar uma forma simples de resolver ela para que obtenhamos uma solução x(t) satisfatória. Primeiro passo dividimos a equação (9) por m:

 \ddot{x}+\frac{k}{m}x=0    (10)

onde você deve se lembrar que \frac{k}{m} é a nada mais do que a freqüência angular ao quadrado, \omega_{0}^{2}, então:

\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0    (11)

Como nossa proposta aqui é demonstrar as equações e conservações a partir da força, não há muito que possamos fazer, teremos que resolver a equação diferencial. Mas não se desespere, equações diferenciais que possuem essa forma possuem uma solução com forma também conhecida, ou seja, essa equação possui a seguinte solução:

x(t)=e^{pt}    (12)

e temos, uma característica importante da equação diferencial é que se somarmos duas solução linearmente independentes teremos uma nova solução válida, então    

x(t)=C_{1}e^{pt}+C_{2} e^{-pt}    (13)

também é solução da equação (11), sendo C_{1} e C_{2} constantes arbitrárias.

Primeira coisa que temos que fazer é determinar a constante p, para isso derivamos duas vezes a solução (12) e depois substituímos na equação (11). Assim:

\ddot{x}(t)=p^{2}e^{pt}    (14)

Substituindo a (12) e a (14) na equação (11):

p^{2}e^{pt}+\omega_{0}^{2} e^{pt}=0    (15)

(p^{2}+\omega_{0}^{2}) e^{pt}=0    (16)

descartamos a hipótese de e^{pt}=0, assim temos:

(p^{2}+\omega_{0}^{2}) e^{pt}=0    (17)

p^{2}=-\omega_{0}^{2}    (18)

p=\sqrt{-\omega_{0}^{2}}=\pm i\omega_{0}    (19)

Agora que encontramos o valor de p, podemos escrever a solução (13) da seguinte forma:

x(t)=C_{1}e^{ i\omega_{0}t}+C_{2} e^{- i\omega_{0}t}    (20)

 A expressão (20) nos diz a posição da partícula, mas necessita ser inteiramente real, para tanto teremos que utilizar alguns truques utilizando as constantes C_{1} e C_{2} para eliminarmos o número complexo i.

Primeiramente consideramos que C_{2} seja o conjugado de C_{1}, então podemos escrevê-los em coordenadas polares da seguinte forma:

C_{1}=a+ib=re^{i\theta}    (21)

e

C_{2}=a-ib=re^{-i\theta}    (22)

Assim nossa solução fica:

x(t)= re^{i\theta}e^{ i\omega_{0}t}+ re^{-i\theta}e^{- i\omega_{0}t}    (23)

x(t)= r\left[e^{i(\omega_{0}t+\theta)}+ e^{-i(\omega_{0}t+\theta)}\right]    (24)

Escrevendo na forma trigonométrica, temos:

e^{i(\omega_{0}t+\theta)}+e^{-i(\omega_{0}t+\theta)}=cos(\omega_{0}t+\theta)+isen(\omega_{0}t+\theta)+cos(\omega_{0}t+\theta)-isen(\omega_{0}t+\theta)    (25)

 Substituindo na (24):

x(t)= r[cos(\omega_{0}t+\theta)+isen(\omega_{0}t+\theta)+cos(\omega_{0}t+\theta)-isen(\omega_{0}t+\theta)] (26)

x(t)=2rcos(\omega_{0}t+\theta)    (27)

Sendo 2r=A a amplitude máxima do movimento do oscilador harmônico simples. A solução (27) é totalmente satisfatória para o que queremos, mas vamos mexer um pouco mais nela para facilitar encontrar a velocidade.

 Acos(\omega_{0}t+\theta)=Acos(\omega_{0}t)cos\theta-Asen(\omega_{0}t)sen\theta    (28)

Onde Acos\theta e Asen\theta são constantes que chamaremos de B_{1} e -B_{2}, respectivamente. Nossa solução fica:

x(t)= B_{1}cos(\omega_{0}t)+B_{2}sen(\omega_{0}t)    (29)

Agora iremos derivar para encontrar a função da velocidade:

\frac{dx(t)}{dt}=v(t)=-B_{1}\omega_{0}sen(\omega_{0}t)+B_{2}\omega_{0}cos(\omega_{0}t)    (30)

Assim encontramos a função horária do espaço e da velocidade de um oscilador harmônico simples a partir da força que atua sobre ele. Graficamente podemos expressar a aceleração, a velocidade e o espaço percorrido pelo oscilador harmônico simples da seguinte maneira:

Figura 3 – Sobreposição dos graficos

Agora podemos demonstrar duas coisas importantes: a amplitude máxima e a energia do oscilador conhecendo apenas as condições iniciais do problema. Suponha que para t=0 temos x(0)=x_{0} e v(0)=v_{0}. Considerando t=0 na (29) e (30) temos:

x_{0}=B_{1}   (31)

e

v_{0}=B_{1}\omega_{0}   (32)

Como já difiimos B_{1} e B_{2} anteriormente, temos:

x_{0}=Acos\theta   (33)

e

v_{0}=-A\omega_{0}sen\theta   (34)

Considerando a relação trigonométrica cos^{2}\theta + sen^{2}\theta=1, temos:

\left(\frac{x_{0}}{A}\right)^{2}+\left(-\frac{v_{0}}{A\omega_{0}}\right)^{2}=1  (35)

Assim a amplitude máxima A do movimento do oscilador harmônico simples é:

\left[x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right]^{\frac{1}{2}}=A   (36)

Aqui demonstramos a amplitude máxima em termos apenas das condições iniciais do oscilador e quando ele se encontra nessa amplitude sua energia é puramente potencial, a demonstração é bem simples. Sabemos que \omega_{0}^{2}=k/m, assim a equação (36) nos dá:

 \left[x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\frac{k}{m}}\right]^{\frac{1}{2}}=A   (37)

assim:

 \left[\frac{kx_{0}^{2}+ mv_{0}^{2}}{k}\right]=A^{2}   (38)

então:

\left[kx_{0}^{2}+ mv_{0}^{2}\right]=kA^{2}  (39)

pela conservação de energia sabemos que a energia mecânica inicial e final do oscilador é a mesma, ou seja E_{M_{i}}=E_{M_{f}}, como:

E_{M_{i}}=\frac{1}{2}kx_{0}^{2}+ \frac{1}{2}mv_{0}^{2}  (40)

temos:

2E_{M}=kA^{2}   (41)

finalmente temos a energia mecânica:

E_{M}=\frac{1}{2}kA^{2}  (42)

Com isso provamos que quando a amplitude do movimento do oscilador for máxima a sua energia mecânica será inteiramente potencial.

Termino aqui a segunda parte de nossa série de textos. Espero que tenha ficado bem claro para você o que é uma força conservativa e a relação entre energia potencial e força.

No próximo abordaremos o potencial de Lennard-Jones e teoremas de conservação.

Bibliografia:

Barcelos Neto. j: Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana.

Symons K.R: Mechanics vol 1

Kazunori W.: Mecânica Clássica vol 1.

Nussenzveig H.M: Física Básica Vol 1.

[Thiago M. Guimarães]

Tópicos Introdutórios de Mecânica Clássica – parte 1

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Tópicos Introdutórios de Mecânica Clássica – Parte 1, Parte 2Parte 3

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O aluno que sai do primeiro ano de graduação, após ter contato com física geral 1, quase sempre tem seu aprendizado fracionado, não sabendo estabelecer uma relação clara entre os conceitos da dinâmica e da cinemática a partir da utilização do cálculo diferencial e integral aprendido nesse mesmo ano. Portanto resolvi abordar uma seção de textos voltados para esses graduandos, tanto de física quanto de engenharia, para tratar esses conceitos importantes. Aqui tentaremos mostrar a relação entre forças, energia, momento e as equações que descrevem a cinemática dos corpos, tudo a partir da força aplicada sobre o corpo. Também tentaremos abordar algumas situações de interesse físico, como o oscilador harmônico simples e o potencial de Lennard Jones.

Uma das primeiras coisas que aprendemos no curso de física geral é a descrição cinemática do movimento dos corpos, inicialmente trabalhamos com movimentos não acelerados e depois passamos a trabalhar com caso em que há aceleração constante no sistema. Porém apenas algum tempo depois descobrimos que a origem dessa aceleração está na força resultante atuando sobre o corpo. Com isso podemos ver que há uma relação direta entre essa força que atua no corpo e suas funções horárias do espaço e da velocidade, podemos pensar ainda mais adiante e buscar relações da força com a energia mecânica do corpo.

Primeiramente temos que saber que força não é tudo igual, pois na mecânica uma força pode depender da velocidade, do tempo e da posição, ou seja: F(x,\dot{x},t). Essas forças possuem características interessantes e delas podemos demonstrar coisas algumas coisas de suma importância para a o entendimento da mecânica. Note também que as forças na natureza não são necessariamente constantes como estamos acostumados a trabalhar com elas inicialmente. 

A partir das forças que dependem do tempo nós podemos demonstrar a conservação do momento linear de forma simples usando apenas integrais. Considere que a nossa força F seja dependente do tempo, isto é F(t).  Como é visto nas leis de Newton F(t)=ma e sabendo também que a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}, temos:

F(t) =m\frac{dv}{dt}=m\frac{d^2x}{dt^2} (1)

Muito provavelmente quem teve um bom curso de física 1 deve ter visto a equação (1), porém dificilmente trabalharam com ela. Essa equação é muito importante e reveladora, pois nela podemos ver a origem daquela aceleração em cinemática. Mas teria alguma forma de relacionarmos a equação da força com as equações horárias do espaço e da velocidade?

A resposta é sim, e é extremamente importante que o graduando tenha essa noção o mais cedo possível. A equação (1) nos dá justamente a relação entre a força e função horária dos espaços e também das velocidades. Para resolvê-la é simples e temos algumas surpresas interessantes no caminho. Primeiramente vamos encontrar a velocidade:

F(t) =m\frac{dv}{dt} (1.1)

Para encontrarmos uma função horária da velocidade basta integrar a equação (1.1) em relação a dt:

\int_{0}^{t}{F(t^{,})}dt^{,} =m\int{\frac{dv}{dt}}dt  (1.2)

Então:

\int_{0}^{t}{F(t^{,})}dt^{,} =m\int_{v_0}^{v}{dv}  (1.3)

Finalmente:

\int_{0}^{t}{F(t^{,})}dt^{,} =m(v-v_{0})  (1.4)

Onde sabemos que m(v-v_{0})= mv-mv_{0}=p_{2}-p_{1}=\Delta p, assim:

\int_{0}^{t}{F(t^{,})}dt^{,}=\Delta p  (1.5)

Isso significa muita coisa! Primeiramente nos diz que a variação do momento linear é a integral da força por dt, que chamamos de impulso. Em segundo lugar diz que se a força que age sobre o corpo for nula teremos a conservação do momento linear e com isso podemos ver também que a força pode ser definida como F(t)=\frac{dp}{dt}, mostrando a relação intrínseca da força com o momento linear do corpo. É de suma importância que você saia do primeiro ano sabendo isso!

Se considerarmos constante a força que atua sobre o corpo conseguimos resultados mais familiares:

F\int_{0}^{t}dt^{,} =m(v-v_{0}) (1.6)

F(t-t_{0}) =m(v-v_{0})  (1.7)

F\Delta t=\Delta p  (1.8)

Onde vemos claramente a equação do impulso como você a conheceu inicialmente. Dessa mesma forma conseguimos mais alguns resultados interessantes. Vamos isolar a velocidade para força constante na equação (1.7), da seguinte forma:

F(t-t_{0}) =m(v-v_{0})  (1.7)

  \frac{F}{m}\int_{0}^{t}dt^{,} =v-v_{0}  (1.8)

Isolando v e fazendo (t-t_0)= t, pois t_0=0:

v=v_{0}+\frac{F}{m}t  (1.9)

Como F(t)=ma:

v=v_{0}+at  (1.10)

Que é a função horária da velocidade pra o movimento acelerado e a partir dela podemos facilmente encontrar a função horário do espaço:

 Sabemos que v=\frac{dx}{dt} temos:

\frac{dx}{dt}=v_{0}+at  (1.11)

Multiplicando ambos os lados pelo elemento diferencial dt, temos

dx=v_{0}dt+atdt  (1.12)

Integrando, temos:

\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{t_{0}}^{t} v_{0}dt+a\int_{t_{0}}^{t}tdt  (1.13)

Finalmente temos a nossa função horária do espaço:

x-x_{0}=v_{0}t+\frac{1}{2}at^2  (1.14)

x=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^2  (1.15)

Com isso cumprimos uma de nossas metas.

Voltando a equação (1.2) vemos que ela é uma equação diferencial de segunda ordem, sua solução deve ser única, ou seja, o corpo evolui no tempo de forma unívoca, tendo como condições iniciais v_{0} e x_{0}, dessa forma as soluções que encontramos satisfazem a (1.2).

O que foi demonstramos acima é de suma importância que seja obvio para graduandos que estão terminando de cursar o primeiro ano.

Para o caso de forças variáveis, que será de seu interesse em um futuro próximo, nós chegaríamos as seguintes equações:

Partindo da (1.4), temos

\int_{0}^{t}{F(t^{,})}dt^{,} =m(v-v_{0})  (1.4)

Como a força varia em relação ao tempo, não podemos mais tirá-la da integral ficando assim:

\frac{1}{m}\int_{0}^{t}{F(t^{,})}dt^{,} =v-v_{0}  (1.16)

Isolando v temos

v=v_{0}+\frac{1}{m}\int_{0}^{t}{F(t^{,})}dt^{,}  (1.17)

E para a função horária do espaço temos:

x= x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{m}\int_{0}^{t}\left[\int_{0}^{t}{F(t^{,})}dt^{,}\right]dt^{,,}  (1.18)

Forças variáveis nos dão muitas vezes trajetórias interessantes para o movimento de corpos, por isso encorajo você a descobrir a trajetória para um corpo sujeito a força F(t)=F_{0}cos\omega t.

Para forças que dependem da velocidade os casos mais clássicos são os de forças de atrito, porém nesse texto não iremos abordá-las. Já forças que dependem da posição são de nosso interesse, pois a partir delas podemos ver claramente a conservação de energia e também compreender o oscilador harmônico simples.

Considere a seguinte força que depende da posição:

F(x)=m\frac{dv}{dt}  (1.19)

Nós temos agora o seguinte problema, a força é uma função espacial, enquanto do outro lado da igualdade temos um elemento diferencial da velocidade e do tempo, precisamos descobrir honestamente um elemento diferencial espacial, para que assim possamos integrar corretamente. Fazemos:

\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} (1.20)

E como é evidente:

\frac{dx}{dt}=v  (1.21)

Assim temos:

F(x)=mv\frac{dv}{dx}  (1.22)

E podemos integrar sem medo algum:

\int_{x_{0}}^{x}{F(x^{,})}dx^{,} =m\int_{v_0}^{v} {vdv}  (1.23)

Resolvendo a integral temos:

\int_{x_{0}}^{x}{F(x^{,})}dx^{,} =\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_{0}^2  (1.24)

Como você pode facilmente ver, encontramos a variação da energia cinética de um corpo que esteja sobre a ação dessa força. Assim podemos deixar duas coisas bem claras, a primeira é que a variação da energia cinética é chamada de trabalho, logo

\int_{x_{0}}^{x}{F(x^{,})}dx^{,} =W  (1.25)

Caso a força seja constante caímos na equação trivial para o trabalho:

F\Delta x =W  (1.26)

A segunda coisa é um pouco menos trivial de se ver. A integral \int_{x_{0}}^{x}{F(x^{,})}dx^{,}, representa uma força que atua por todo a trajetória do corpo, desde seu ponto inicial x_{0} e seu ponto final x. Podemos separar esse caminho em duas em duas partes a partir de um ponto de referência x_{ref}, no qual temos:

\int_{x_{0}}^{x}{F(x^{,})}dx^{,}=\int_{x_{0}}^{x_{ref}}{F(x^{,})}dx^{,}+\int_{x_{ref}}^{x}{F(x^{,})}dx^{,}  (1.27)

Se isso não for familiar para você dê uma olhada em seu livro de cálculo.

Quando tomamos a integral da força pelo elemento diferencial dx, como sendo a variação da energia cinética podemos fazer:

\int_{x_{ref}}^{x}{F(x^{,})}dx^{,}=-U(x)  (1.28)

Onde U(x) é energia potencial do corpo. 

Sabendo que

\int_{x_{0}}^{x_{ref}}{F(x^{,})}dx^{,}=-\int_{x_{ref}}^{x}{F(x^{,})}dx^{,}  (1.29)

Temos:

\int_{x_{0}}^{x_{ref}}{F(x^{,})}dx^{,}=U(x_{0})  (1.30)

Então finalmente encontramos:

 

\int_{x_{0}}^{x}{F(x^{,})}dx^{,}= U(x_{0})-U(x)  (1.31)

Igualando com energia cinética temos:

U(x_{0})-U(x)=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_{0}^2  (1.32)

Rearranjando:

U(x_{0})+\frac{1}{2}mv_{0}^2=\frac{1}{2}mv^2+U(x)  (1.33)

E podemos expressar da seguinte forma:

E_M=\frac{1}{2}mv^2+U(x)  (1.34)

Onde E_M= U(x_{0})+\frac{1}{2}mv_{0}^2.

Essa equação representa a conservação de energia mecânica total de um corpo, sendo assim não há variação dessa energia no decorrer do tempo, logo:

\frac{dE_M}{dt}=0  (1.35)

Mostrando que a energia é um constante de movimento, obviamente para casos onde há forças dissipativas sobre atuando sobre o corpo isso não ocorre.

Aqui mostramos um dos conceitos mais importantes que temos em mecânica, que é a conservação da energia mecânica do corpo a partir de uma força que atua sobre o corpo. Portanto temos mais ponto da nossa tarefa cumprido.

Essa conservação de energia nos permite encontrar a velocidade e a posição do corpo, porém elas agora não parecerão tão familiares mais. Fazendo

\frac{1}{2}mv^{2}=E_{M}-U(x)  (1.36)

Isolando v, temos:

v=\pm\left[\frac{2}{m}(E_M-U(x))\right]^{\frac{1}{2}}  (1.37)

Considerando novamente v=\frac{dx}{dt} temos:

\frac{dx}{dt}=\pm\left[\frac{2}{m}(E_M-U(x))\right]^{\frac{1}{2}}  (1.38).

Multiplicando ambos os lados por dt:

dx=\pm\left[\frac{2}{m}(E_M-U(x))\right]^{\frac{1}{2}}dt  (1.39)

Sabemos que (E_M-U(x)) possui dependência espacial,  portanto:

\pm \frac{dx}{\left[E_M-U(x) \right]^{\frac{1}{2}}}= \sqrt{\frac{2}{m}}dt  (1.40)

Integrando mais uma vez encontramos a equação que descreve a trajetória do corpo:

 

\pm\int_{x_0}^{x}{\frac{dx^{,}}{\left[E_M-U(x)\right]^{\frac{1}{2}}}}=\sqrt{\frac{2}{m}}t  (1.41)

 

De tudo que foi exposto acima, vimos claramente como obter as equações da cinemática a partir de uma força constante, vimos também uma demonstração simples e correta sobre a conservação de energia.  Se você chegou até compreendendo tudo que foi feito, nós demos um grande passo, parabéns.

Vou encerrar esse primeiro texto por aqui, para não ficar muito grande, nos próximos abordarei o oscilador harmônico simples, fazendo um tratamento voltado para sua energia e também abordaremos o potencial de Lennard Jones.No terceiro texto tentarei abordar forças conservativas e teoremas de conservação.

Bibliografia

– Barcelos Neto, j –  Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana.

– Symons K.R – Mechanics vol 1

– Kazunori W. – Mecânica Clássica vol 1.

[Thiago M. Guimarães]

Simetria nas Leis da Física e um Caso Clássico de Quebra de Simetria.

Esse é o primeiro texto de uma série que pretendemos abordar o modelo padrão e como ele funciona. Para iniciar é interessante compreender os conceitos clássicos de simetria para que no futuro tenhamos uma base boa para abordar os conceitos pretendidos. O presente texto é válido para alunos que estão cursando o primeiro ano de graduação, ou para alunos do ensino médio que tenham noções de derivadas.

(texto parcialmente corrigido, caso encontre algum erro deixe nos comentários que eu corrijo)

Simetrias nas leis da física.

 O  nosso primeiro passo será compreender uma coisa importante e linda da natureza: A simetria nas leis da física. Mas o que é simetria?

(Caso você tenha algum problema com vetores clique aqui!)

 Imagine um objeto qualquer com dois lados, A e B. Se observarmos que o lado A desse objeto é idêntico ao lado B podemos afirmar que este objeto é simétrico e damos o nome de simetria de paridade.

Outra forma mais ampla sobre simetria é pensar que uma coisa é simétrica se for possível submetê-la a uma transformação e ela permanecer exatamente igual após essa transformação (The Feynman Lectures on Physics Volume I).

 Nas leis da física nós podemos submeter suas equações a translações e rotações, se ainda sim elas continuarem iguais dizemos que elas são simétricas. Mas vamos demonstrar isso a partir das leis de Newton!

Vamos nos ater na segunda lei de Newton que demonstra de uma forma específica como a velocidade varia sobre diferentes influências de força.

\vec{R}=m\frac{d\vec{v}}{dt}=m\vec{a}  (1.1)

Para um sistema em três dimensões, temos:

 \vec{R}=ma_{x}\hat{i}+ ma_{y}\hat{j}+ ma_{z}\hat{k} (1.2)

 A equação demonstra que podemos medir a força resultante \vec{R} nos eixos x, y e z. Para que isso ocorra precisamos de um sistema de coordenadas para testar a validade dela. Vamos começar imaginando duas partículas, uma na posição A e a outra na posição B. Considere ambas partículas idênticas.

Quando medimos a localização espacial da partícula A, encontramos três coordenadas: x, y e z, mas vamos nos ater somente nos eixos x e y. Agora quando medimos a localização da partícula B, encontramos um  diferente, o qual chamaremos de  assim:

 x^{,}=x-c;   y^{,}=y;   z^{,}=z   (1.3)

Isso indica que há uma translação em O  referente as duas partículas. Se a segunda lei de Newton for de fato simétrica em relação a transformação de translação ela deve continuar sendo exatamente a mesma para ambas partículas, ou seja a (1.1) deve continuar exatamente igual para as duas partículas, então vejamos:

Aplicando uma mesma força \vec{R} nas duas partículas, temos:

 \vec{R}_{x^{,}}=\vec{R}_{x};       \vec{R}_{y^{,}}=\vec{R}_{y};       \vec{R}_{z^{,}}=\vec{R}_{z}  (1.4)

 Analisando a força na direção x, percebemos que a componente x da força que atua sobre as partículas A e B de forma similar, pois x.

 \frac{dx^{,}}{dt}=\frac{d(x-c)}{dt}=\frac{dx}{dt}  (1.5)

 c é uma constante e  dc/dt=0.

 Com isso conseguimos mostrar que as forças aplicadas em ambas as partículas são as mesmas, pois:

\vec{R}_{x^{,}}=\vec{R}_{x} (1.6)

Assim vemos que a segunda lei de Newton é simétrica em relação a transformação de translação, pois ela não muda quando fazemos uma translação de nossas coordenadas, ou seja, podemos transladar os eixos do sistema de coordenadas para outro lugar e essa lei continua válida.

 Mas agora nos resta uma dúvida: será que essas equações continuarão válidas se mudarmos os ângulos do sistema de coordenadas, ou seja, se rotacionarmos o sistema de coordenadas?

 Suponhamos que as partículas A e B estejam na mesma origem, mas os eixos da partícula A são deslocados em um ângulo \theta em relação a partícula B.

Figura 1 – Dois sistemas de coordenadas com orientações angulares diferentes.

Ou seja,

 x^{,}=xcos\theta+ysen\theta

E o y^{,},

 y^{,}=ycos\theta-xsen\theta

Para z^{,},

 z^{,}=z 

                                                        (1,7)

Agora iremos relacionar essa variação angular dos eixos com uma força \vec{F}. Na equação vimos que a força \vec{F} está direcionada nos eixos x, y e z.

Figura 2 – Componentes de uma força nos dois sistemas.

Pela análise da (figura 2) temos o resultado

 \vec{F}_{x^{,}}=\vec{F}_{x}cos\theta+\vec{F}_{y}sen\theta

\vec{F}_{y^{,}}=\vec{F}_{y}cos\theta-\vec{F}_{x}sen\theta

                                                                                                                                                                                                                (1.8)

Notamos que as equações (1.7) e (1.8) são parecidas, ou seja, têm a mesma forma. Para verificarmos a validade da equação (1.2) com a orientação angular diferente, testaremos as equações (1.7) e (1.8).

Na equação (1.7) multiplicaremos por m e derivaremos duas vezes em relação ao tempo e, então comparamos a (1.8) e vemos facilmente que elas são idênticas, ou seja:

 \vec{F}_{x^{,}}= m\frac{d^{2}x^{,}}{dt^2}= m\frac{d^{2}x}{dt^2}cos\theta +m\frac{d^{2}y}{dt^2}sen\theta

\vec{F}_{y^{,}}= m\frac{d^{2}y^{,}}{dt^2}= m\frac{d^{2}x}{dt^2}cos\theta-m\frac{d^{2}y}{dt^2}sen\theta

\vec{F}_{z^{,}}= m\frac{d^{2}z^{,}}{dt^2}= m\frac{d^{2}z}{dt^2}

                                                                                                                                                                  (1.9)                                     

Assim provamos que a segunda lei de Newton é válida também para qualquer conjunto de eixos variando seus ângulos. Desta forma vimos que existe simetria nessa lei da mecânica para ambos os casos, translação e rotação nos eixos.

Agora que conhecemos o básico sobre simetria, teremos que ir pouco mais adiante em nosso estudos e entender como essas simetrias se relacionam com teoremas de conservação.

Nós conhecemos muito bem algumas conservações na mecânica clássica desde nossa passagem pelo ensino médio. Essas conservações são principalmente a de energia, de momento angular e linear. No caso geral podemos chamar uma grandeza de conservativa se ela não sofre variação com o tempo, dE/dt=0, sendo assim considerada uma constante de movimento.

Existe, no entanto, uma descrição da mecânica clássica que nos interessa muito, que é a mecânica lagrangiana, ela nos interessa porque ela consegue tratar a mecânica de forma escalar e a partir de sua energia. Nesse formalismo o sistema é descrito pela Lagrangiana L:

 L=L(q,\dot{q},t)   (1.10)

Nos primeiros contatos é normal se assustar com as coordenadas generalizadas q e \dot{q}, mas elas não passam de coordenadas espaciais independetes quaisquer e sua derivada temporal. O caso mais comum de função Lagrangiana L é dado pela diferença entre a energia cinética T e potencial V do sistema em função de q e \dot{q}:

L=T-V   (1.11)

É importante que você note que a lagrangiana do sistema não expressa a energia total, mas sim a diferença entre as energias cinética e potencial, como foi ressaltado.

Seguindo o formalismo, as equações de movimento são dadas pelas equações de Euler-Lagrange:

 \frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}})-\frac{\partial{L}}{\partial{q_{k}}}=0  (1.12)

Mas nosso foco aqui é em simetrias e não na descrição lagrangeana da mecânica, então vamos nos ater a isso. Se existir alguma coordenada generalizada q_{k} a qual L não depende então obviamente sua derivada primeira em relação a ela não existe, fazendo com que tenhamos:

 \frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}})=0  (1.13)

Assim fica evidente que \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}} é uma quantidade conservada, chamada de momento generalizado conjugado à coordenada q_{k} e fazendo isso a nossa equação de Euler-Lagrange expressa a conservação desse momento generalizado.

Sem fazer apelo para matemática, pois isso não é uma aula e sim um texto simples em um blog, podemos dizer que existe um teorema elegante que relaciona essas quantidade conservadas com as simetrias vistas anteriormente. Chamamos esse teorema de Teorema de Noether e ele diz que se existe uma simetria então existe uma quantidade conservada. Do ponto de vista do que queremos abordar, esta quantidade conservada recebe o nome de carga.  Mas não entenda como carga elétrica apenas, pois ela pode ser carga de cor, carga de sabor, carga gravitacional, que serão explicadas nos futuros textos. Mas de forma geral na mecânica clássica esse teorema nos fornece a conservação do momento para translações espaciais, porém nosso foco na mecânica clássica nesse princípio é apenas para facilitar a visualização de conceitos básicos.

Mas agora vou levantar uma questão interessante: Vimos que as simetrias dessas equações são mantidas quando submetemos elas a transformações, mas será que suas soluções também mantém essa simetria? Ou seja, solução e equação são simétricas sob as mesmas transformações ou há quebra espontânea da simetria?

Procurando uma forma simples de abordar isso eu encontrei um texto no ArsPhysica e uma tese de mestrado bem interessantes sobre o assunto, mas em particular irei me basear no primeiro texto citado, pois a analogia da quebra de simetria no sistema clássico se encaixa muito bem aqui e pode ser entendido até por um aluno do primeiro ano, exigindo o mínimo de matemática.

Vimos que as equações que regem a mecânica podem possuir certa simetria, ou seja, podemos submetê-las a determinadas transformações e elas continuam sendo as mesmas. Porém quando extraímos as soluções dessas equações e submetemos a essas mesmas transformações elas se comportarem de forma diferente, ou seja, não mantiver a simetria, nós dissemos que houve uma quebra espontânea da simetria. Mas como ver isso em um sistema clássico?

Tomemos como exemplo uma partícula qualquer de massa m que está confinada a se movimentar em um aro perfeitamente circular e que está em repouso, como na imagem:

Imagem 1 – movimentação de uma partícula em um aro.

A partícula está sujeita, principalmente, as forças gravitacional e centrifuga tendo sua energia potencial efetiva dada por:

 V_{efetivo}=\frac{1}{2}mv^2+mgH  (1.14)

Onde obviamente

 v=R\omega sen\theta  (1.15)

e

 H=R(1-cos\theta)  (1.16)

Talvez o valor de H não fique tão evidente para você, mas para isso basta ver a variação do raio R e do ângulo \theta durante o movimento da partícula.

Substituindo na equação da energia potencial temos:

 V_{efetivo}=\frac{1}{2}m(R\omega sen\theta)^2+mg R(1-cos\theta)  (1.17)

Agora precisamos analisar a equação: Primeiramente sabemos que m, g e R são constantes e que nosso sen\theta e cos\theta possuem variações totalmente conhecidas compreendidas entre -1 e 1. Portanto precisamos conhecer apenas \omega, velocidade angular, para entendermos bem o comportamento do potencial.

Sem levantarmos muitas hipóteses podemos considerar que a frequência angular pode ser \omega<\sqrt{\frac{g}{R}} ou \omega>\sqrt{\frac{g}{R}}. Para o primeiro caso temos um gráfico habitual do potencial que agora varia dependendo apenas de \theta, da seguinte forma:

Imagem 2 – Gráfico com eixo das abscissas representando a variação do ângulo θ

Quando o ângulo \theta for igual a zero, nós temos um ponto de mínimo no potencial. Quando a partícula estiver nesse ponto dizemos que ela está em equilíbrio estável, ou seja, se a deslocarmos para a esquerda ou para a direita ela sofrerá a ação de uma força restauradora que tentará trazê-la de volta a posição de equilíbrio, assim tanto faz para a partícula que está parada no ponto de equilíbrio se movimentar para a esquerda ou para a direita, pois há uma simetria na situação, já que em ambos os lados ela terá que subir potencial acima.

Já quando consideramos \omega>\sqrt{\frac{g}{R}} temos um problema mais interessante. Traçando o gráfico temos:

Imagem 3 – Gráfico com eixo das abscissas representando a variação do ângulo θ

Note que agora surgem dois pontos de mínimo e um de máximo local. O ponto de máximo local é um ponto de equilíbrio instável, pois se colocarmos a partícula naquele ponto qualquer mínima perturbação que ela sofrer pode tirá-la dali. Já os pontos de mínimo são novamente estáveis, porém há uma diferença crucial, se a partícula se movimentar para a direita (caso ela esteja no primeiro mínimo) ela irá subir até o ponto de máximo local e depois descer para o segundo mínimo, mas se ela se movimentar para a esquerda ela irá subir potencial a cima apenas. Ou seja, a simetria não foi mantida(!), a isso damos o nome de quebra de simetria e será muito importante nos textos seguintes para compreendermos como surgem as partículas.

Bibliográfica

– Lemos – Mecânica Analítca 2º Ed.

– Feynman – Lectures on Physics Vol 1.

– Goldenstein – Classical Mechanics volume 1.

[Thiago M. Guimarães]

Um problema clássico e pouco abordado da ressonância em osciladores harmônicos.

Quando eu cursei mecânica clássica 1, notei um erro que aparecia comumente nos livros que usei na parte de ressonância em osciladores. Ao questionar meu professor obtive respostas vagas bem ao estilo “Não tinha notado isso e não sei te responder de imediato”. Então para evitar que mais alunos se deparem com esse problema e não encontrem uma resposta eu me lembrei de escrever esse texto.

Sabemos que para um oscilador amortecido e forçado sua solução homogênea tende a desaparecer com o tempo, deixando o oscilador a cargo da ação da força externa. Dessa forma a amplitude do sistema dependerá da frequência \omega da força externa, existindo uma faixa de frequência na qual a amplitude de oscilação será máxima, essa frequência recebe o nome de frequência de ressonância \omega_{R}^{A}. Porém isso você já deve saber(!).

A nossa solução estacionária é dada por:

x_{p}=Dcos(\omega t-\delta)   (1)

Onde D =\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_{0}^{2} -\omega^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}}} é a amplitude do movimento, que pode ser encarado como de uma função dos parâmetros \omega, \omega_{0} e \gamma, ou seja D_{\omega, \omega_0, \gamma}. Como acabamos de falar a ressonância ocorre na amplitude máxima, ou seja, em um máximo da função D, logo:

\frac{\partial D_{(\omega,\omega_{0},\gamma)}}{\partial\omega}=0    (2)

Onde \omega=\omega_{R}^{A}. Realizando a derivada e rearranjando os termos temos:

\omega_{R}^{A}(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{A}-2\gamma^{2})=0  (3)

Para que a igualdade acima seja verdade ou \omega_{R}^{A}=0 ou \omega_{R}^{A}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}}Então, substituímos em D e chegamos que a amplitude máxima é:

D_{max}=\frac{F_0/m}{2\gamma\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2})}}  (4)

Está equação para a amplitude nos fornece o seguinte gráfico para diferentes \omega

Gráfico da amplitude pela frequência angular – ignore os valores númericos

A frequência de ressonância ocorre para \omega_{R}^{A}<\omega_0, devido ao fator resistivo \gamma a ressonância só pode existir para \omega_{0}^{2}\geq 2\gamma^{2}. Porém para \omega_{0}^{2}=2\gamma^{2} existe a possibilidade de não haver ressonância, pois:

D_{max}=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_{0}^{4}-\omega^{4})}}  (5)

E é fácil notar que essa função decresce monotonicamente com o aumento de \omega. Assim para o amortecimento crítico não há ressonância, uma vez que a mesma é destruída pela força dissipativa. Mas nosso problema não está nesse ponto, mas sim quando o fator resistivo for nulo, ou seja, não houver resistência no sistema, \gamma=0.

Se repararmos direito na equação que descreve a amplitude máxima (4), para \gamma=0, D_{max} iria para o infinito. Esse fato parece verdade pela nossa equação e por muitos livros de mecânica, mas acontece um erro trivial por falta de uma analise detalhada da equação diferencial e suas soluções, pois a solução não se torna mais aceitável uma vez que ela se torna a combinação linear de sen \omega_{0}t e cos \omega_{0}t. Isso ocorre devido o sistema oscilar na frequência da força externa, \omega=\omega_{0}, nos fazendo ter a necessidade de buscar uma solução particular que seja linearmente independente com a solução homogênea. Para isto temos que voltar ao inicio e resolver novamente nossa equação diferencial do oscilador harmônico forçado, porém sem amortecimento, ou seja considerando \gamma=0 e \omega=\omega_{0}, da seguinte forma:

\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_0}{m} cos \omega_{0}t (6)

E a solução particular terá a forma:

x_{p}=Dtcos(\omega_{0}t-\delta).

Derivando duas vezes em relação ao tempo e substituindo na equação diferencial (6) podemos facilmente encontrar que:

D=\frac{F_0}{2\omega_0m}  (7)

Então nossa solução particular x_{p}, fica:

x_{p}=\frac{F_0}{2\omega_0m}tcos (\omega_{0}t-\delta).  (8)

Com isso vemos que a amplitude crescerá linearmente com o tempo e não mais havendo a divergência para \omega=\omega_{0} . Essa descrição se encaixa muito melhor a realidade e para ela temos o seguinte gráfico:

Solução particular pelo tempo

[Thiago M. Guimarães]