Um problema clássico e pouco abordado da ressonância em osciladores harmônicos.

Quando eu cursei mecânica clássica 1, notei um erro que aparecia comumente nos livros que usei na parte de ressonância em osciladores. Ao questionar meu professor obtive respostas vagas bem ao estilo “Não tinha notado isso e não sei te responder de imediato”. Então para evitar que mais alunos se deparem com esse problema e não encontrem uma resposta eu me lembrei de escrever esse texto.

Sabemos que para um oscilador amortecido e forçado sua solução homogênea tende a desaparecer com o tempo, deixando o oscilador a cargo da ação da força externa. Dessa forma a amplitude do sistema dependerá da frequência \omega da força externa, existindo uma faixa de frequência na qual a amplitude de oscilação será máxima, essa frequência recebe o nome de frequência de ressonância \omega_{R}^{A}. Porém isso você já deve saber(!).

A nossa solução estacionária é dada por:

x_{p}=Dcos(\omega t-\delta)   (1)

Onde D =\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_{0}^{2} -\omega^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}}} é a amplitude do movimento, que pode ser encarado como de uma função dos parâmetros \omega, \omega_{0} e \gamma, ou seja D_{\omega, \omega_0, \gamma}. Como acabamos de falar a ressonância ocorre na amplitude máxima, ou seja, em um máximo da função D, logo:

\frac{\partial D_{(\omega,\omega_{0},\gamma)}}{\partial\omega}=0    (2)

Onde \omega=\omega_{R}^{A}. Realizando a derivada e rearranjando os termos temos:

\omega_{R}^{A}(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{A}-2\gamma^{2})=0  (3)

Para que a igualdade acima seja verdade ou \omega_{R}^{A}=0 ou \omega_{R}^{A}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}}Então, substituímos em D e chegamos que a amplitude máxima é:

D_{max}=\frac{F_0/m}{2\gamma\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2})}}  (4)

Está equação para a amplitude nos fornece o seguinte gráfico para diferentes \omega

Gráfico da amplitude pela frequência angular – ignore os valores númericos

A frequência de ressonância ocorre para \omega_{R}^{A}<\omega_0, devido ao fator resistivo \gamma a ressonância só pode existir para \omega_{0}^{2}\geq 2\gamma^{2}. Porém para \omega_{0}^{2}=2\gamma^{2} existe a possibilidade de não haver ressonância, pois:

D_{max}=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_{0}^{4}-\omega^{4})}}  (5)

E é fácil notar que essa função decresce monotonicamente com o aumento de \omega. Assim para o amortecimento crítico não há ressonância, uma vez que a mesma é destruída pela força dissipativa. Mas nosso problema não está nesse ponto, mas sim quando o fator resistivo for nulo, ou seja, não houver resistência no sistema, \gamma=0.

Se repararmos direito na equação que descreve a amplitude máxima (4), para \gamma=0, D_{max} iria para o infinito. Esse fato parece verdade pela nossa equação e por muitos livros de mecânica, mas acontece um erro trivial por falta de uma analise detalhada da equação diferencial e suas soluções, pois a solução não se torna mais aceitável uma vez que ela se torna a combinação linear de sen \omega_{0}t e cos \omega_{0}t. Isso ocorre devido o sistema oscilar na frequência da força externa, \omega=\omega_{0}, nos fazendo ter a necessidade de buscar uma solução particular que seja linearmente independente com a solução homogênea. Para isto temos que voltar ao inicio e resolver novamente nossa equação diferencial do oscilador harmônico forçado, porém sem amortecimento, ou seja considerando \gamma=0 e \omega=\omega_{0}, da seguinte forma:

\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_0}{m} cos \omega_{0}t (6)

E a solução particular terá a forma:

x_{p}=Dtcos(\omega_{0}t-\delta).

Derivando duas vezes em relação ao tempo e substituindo na equação diferencial (6) podemos facilmente encontrar que:

D=\frac{F_0}{2\omega_0m}  (7)

Então nossa solução particular x_{p}, fica:

x_{p}=\frac{F_0}{2\omega_0m}tcos (\omega_{0}t-\delta).  (8)

Com isso vemos que a amplitude crescerá linearmente com o tempo e não mais havendo a divergência para \omega=\omega_{0} . Essa descrição se encaixa muito melhor a realidade e para ela temos o seguinte gráfico:

Solução particular pelo tempo

[Thiago M. Guimarães]

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2 comentários em “Um problema clássico e pouco abordado da ressonância em osciladores harmônicos.

  1. Jonathas Lima disse:

    Parabéns pela postagem, esse tipo de preocupação a cerca de certos problemas são muito legais, e a divulgação disso mais ainda.

  2. Guilherme Gonçalves Costa disse:

    Excelente iniciativa. Estou cursando Física II em meu Bacharelado em Química e estou vendo esse assunto. Totalmente relevante e útil!

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